отбор всех файлов за четвёртый день назад
find -mtime -4 -mtime -4 -daystart -exec cp {} my \;

отбор всех файлов содержащих mystring в директорию my2
grep -l mystring /var/mail/mailbackup/new/my/* | xargs --replace="{}" bash -c "cp {} my2"

если количество файлов большое, то Вы можете получить сообщение:
-bash: /bin/grep: Argument list too long

тогда можно передать файлы grep по очереди через find:
find ./ -type f -print0| xargs -0 grep -l "mystring" | xargs --replace="{}" bash -c "cp {} my2"